Основы Матанализа
Для быстрой подготовки к экзаменам
Фу́нкция в математике — соответствие между элементами двух множеств — правило, по которому каждому элементу первого соответствует один и только один элемент второго множества.
Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так, значение переменной {\displaystyle x}
однозначно определяет значение выражения {\displaystyle x^{2}}
, также значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца. «Житейский» пример функции: каждому человеку можно однозначно поставить в соответствие его биологического отца.
Аналогично, заранее заданный алгоритм по значению входного данного выдаёт значение выходного данного.
Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде графиков.
Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так, значение переменной {\displaystyle x}
однозначно определяет значение выражения {\displaystyle x^{2}}
, также значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца. «Житейский» пример функции: каждому человеку можно однозначно поставить в соответствие его биологического отца.
Аналогично, заранее заданный алгоритм по значению входного данного выдаёт значение выходного данного.
Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде графиков.
Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Пусть в некоторой окрестности точки {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
определена функция {\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}
Производной функции называется такое число {\displaystyle A}
, что функцию в окрестности {\displaystyle U(x_{0})}
можно представить в виде
{\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)}
если {\displaystyle A}
существует.
Определение производной функции через предел
Пусть в некоторой окрестности точки {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
определена функция {\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}
Производной функции {\displaystyle f}
в точке {\displaystyle x_{0}}
называется предел, если он существует,
{\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim \limits _{{\Delta x}\to 0}{\frac {\Delta {f(x)}}{\Delta x}}.}
Общепринятые обозначения производной функции {\displaystyle y=f(x)}
в точке {\displaystyle x_{0}}
{\displaystyle f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})=\mathrm {D} \!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})=\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert _{x=x_{0}}={\dot {y}}(x_{0}).}
Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике и физике, исторически часто тоже).
Пусть в некоторой окрестности точки {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
определена функция {\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}
Производной функции называется такое число {\displaystyle A}
, что функцию в окрестности {\displaystyle U(x_{0})}
можно представить в виде
{\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)}
если {\displaystyle A}
существует.
Определение производной функции через предел
Пусть в некоторой окрестности точки {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
определена функция {\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}
Производной функции {\displaystyle f}
в точке {\displaystyle x_{0}}
называется предел, если он существует,
{\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim \limits _{{\Delta x}\to 0}{\frac {\Delta {f(x)}}{\Delta x}}.}
Общепринятые обозначения производной функции {\displaystyle y=f(x)}
в точке {\displaystyle x_{0}}
{\displaystyle f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})=\mathrm {D} \!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})=\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert _{x=x_{0}}={\dot {y}}(x_{0}).}
Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике и физике, исторически часто тоже).
Интегра́л (от лат. integer — букв. целый)[1] — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач:
Неопределённый интеграл
Пусть дана {\displaystyle f(x)}
— функция действительной переменной. Неопределённым интегралом функции {\displaystyle f(x)}
, или её первообразной, называется такая функция {\displaystyle F(x)}
, производная которой равна {\displaystyle f(x)}
, то есть {\displaystyle F'(x)=f(x)}
. Обозначается это так:
{\displaystyle F(x)=\int f(x)dx}
В этой записи {\displaystyle \int }
— знак интеграла, {\displaystyle f(x)}
называется подынтегральной функцией, а {\displaystyle dx}
— элементом интегрирования.
Первообразная существует не для любой функции. Легко показать, что по крайней мере все непрерывные функции имеют первообразную. Поскольку производные двух функций, отличающихся на константу, совпадают, в выражение для неопределённого интеграла включают произвольную постоянную {\displaystyle C}
, например
{\displaystyle \int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C,\qquad \int \cos(x)dx=\sin(x)+C}
Операция нахождения интеграла называется интегрированием. Операции интегрирования и дифференцирования обратны друг другу в следующем смысле:
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int f(x)dx=f(x),\qquad \int {\frac {df(x)}{dx}}dx=f(x)+C}
Определённый интеграл
Понятие определённого интеграла возникает в связи с задачей о нахождении площади криволинейной трапеции, нахождении пути по известной скорости при неравномерном движении и т. п.
Рассмотрим фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми {\displaystyle x=a}
и {\displaystyle x=b}
и графиком функции {\displaystyle y=f(x)}
, называемую криволинейной трапецией (см. рисунок). Если по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат — скорость тела, то площадь криволинейной трапеции есть пройденный телом путь.
Для вычисления площади этой фигуры естественно применить следующий приём. Разобьём отрезок {\displaystyle [a;b]}
на меньшие отрезки точками {\displaystyle x_{i}}
, такими что {\displaystyle a=x_{0}<...<x_{i}<x_{i+1}<...<x_{n}=b}
, а саму трапецию — на ряд узких полосок, лежащих над отрезками {\displaystyle [x_{i};x_{i+1}]}
. Возьмём в каждом отрезке по произвольной точке {\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i};x_{i+1}]}
. Ввиду того, что длина {\displaystyle i}
-го отрезка {\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}}
мала, будем считать значение функции {\displaystyle f(x)}
на нём примерно постоянным и равным {\displaystyle y_{i}=f(\xi _{i})}
. Площадь криволинейной трапеции будет приблизительно равна площади ступенчатой фигуры, изображённой на рисунке:
{\displaystyle S\approx \sum _{i=0}^{n-1}y_{i}\Delta x_{i}\qquad (*)}
Если же теперь увеличивать число точек разбиения, так, чтобы длины всех отрезков неограниченно убывали ({\displaystyle \max \Delta x_{i}\to 0}
), площадь ступенчатой фигуры будет всё ближе к площади криволинейной трапеции.
Поэтому мы приходим к такому определению:
Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек {\displaystyle \xi _{i}}
, предел суммы (*) при стремлении длин всех отрезков к нулю, то такой предел называется определённым интегралом (в смысле Римана) от функции {\displaystyle f(x)}
по отрезку {\displaystyle [a;b]}
и обозначается
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}
Сама функция при этом называется интегрируемой (в смысле Римана) на отрезке {\displaystyle [a;b]}
. Суммы вида (*) называются интегральными суммами.
Примеры интегрируемых функций:
рациональном, 0 при иррациональном). Поскольку множество рациональных чисел всюду плотно в {\displaystyle {\mathbb {R} }}
, выбором точек {\displaystyle \xi _{i}}
можно получить любое значение интегральных сумм от 0 до {\displaystyle b-a}
.
Между определённым и неопределённым интегралом имеется простая связь. А именно, если
{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}
то
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}
Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.
- о нахождении площади под кривой;
- пройденного пути при неравномерном движении;
- массы неоднородного тела, и тому подобных;
- а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл)[2].
Неопределённый интеграл
Пусть дана {\displaystyle f(x)}
— функция действительной переменной. Неопределённым интегралом функции {\displaystyle f(x)}
, или её первообразной, называется такая функция {\displaystyle F(x)}
, производная которой равна {\displaystyle f(x)}
, то есть {\displaystyle F'(x)=f(x)}
. Обозначается это так:
{\displaystyle F(x)=\int f(x)dx}
В этой записи {\displaystyle \int }
— знак интеграла, {\displaystyle f(x)}
называется подынтегральной функцией, а {\displaystyle dx}
— элементом интегрирования.
Первообразная существует не для любой функции. Легко показать, что по крайней мере все непрерывные функции имеют первообразную. Поскольку производные двух функций, отличающихся на константу, совпадают, в выражение для неопределённого интеграла включают произвольную постоянную {\displaystyle C}
, например
{\displaystyle \int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C,\qquad \int \cos(x)dx=\sin(x)+C}
Операция нахождения интеграла называется интегрированием. Операции интегрирования и дифференцирования обратны друг другу в следующем смысле:
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int f(x)dx=f(x),\qquad \int {\frac {df(x)}{dx}}dx=f(x)+C}
Определённый интеграл
Понятие определённого интеграла возникает в связи с задачей о нахождении площади криволинейной трапеции, нахождении пути по известной скорости при неравномерном движении и т. п.
Рассмотрим фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми {\displaystyle x=a}
и {\displaystyle x=b}
и графиком функции {\displaystyle y=f(x)}
, называемую криволинейной трапецией (см. рисунок). Если по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат — скорость тела, то площадь криволинейной трапеции есть пройденный телом путь.
Для вычисления площади этой фигуры естественно применить следующий приём. Разобьём отрезок {\displaystyle [a;b]}
на меньшие отрезки точками {\displaystyle x_{i}}
, такими что {\displaystyle a=x_{0}<...<x_{i}<x_{i+1}<...<x_{n}=b}
, а саму трапецию — на ряд узких полосок, лежащих над отрезками {\displaystyle [x_{i};x_{i+1}]}
. Возьмём в каждом отрезке по произвольной точке {\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i};x_{i+1}]}
. Ввиду того, что длина {\displaystyle i}
-го отрезка {\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}}
мала, будем считать значение функции {\displaystyle f(x)}
на нём примерно постоянным и равным {\displaystyle y_{i}=f(\xi _{i})}
. Площадь криволинейной трапеции будет приблизительно равна площади ступенчатой фигуры, изображённой на рисунке:
{\displaystyle S\approx \sum _{i=0}^{n-1}y_{i}\Delta x_{i}\qquad (*)}
Если же теперь увеличивать число точек разбиения, так, чтобы длины всех отрезков неограниченно убывали ({\displaystyle \max \Delta x_{i}\to 0}
), площадь ступенчатой фигуры будет всё ближе к площади криволинейной трапеции.
Поэтому мы приходим к такому определению:
Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек {\displaystyle \xi _{i}}
, предел суммы (*) при стремлении длин всех отрезков к нулю, то такой предел называется определённым интегралом (в смысле Римана) от функции {\displaystyle f(x)}
по отрезку {\displaystyle [a;b]}
и обозначается
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}
Сама функция при этом называется интегрируемой (в смысле Римана) на отрезке {\displaystyle [a;b]}
. Суммы вида (*) называются интегральными суммами.
Примеры интегрируемых функций:
- непрерывные функции
- функции, имеющие лишь конечное число разрывов первого рода
- монотонные функции.
рациональном, 0 при иррациональном). Поскольку множество рациональных чисел всюду плотно в {\displaystyle {\mathbb {R} }}
, выбором точек {\displaystyle \xi _{i}}
можно получить любое значение интегральных сумм от 0 до {\displaystyle b-a}
.
Между определённым и неопределённым интегралом имеется простая связь. А именно, если
{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}
то
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}
Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.
